现在是大二的寒假，距离在北航里第一次接触线性代数已经过去了三个学期，之所以想要重新学习线性代数，一方面是旁听了数学二学位里矩阵分析这门课，感到对线性代数的掌握还远远不够，于是在假期开始的时候看起了MIT18.06的网课，被Gilbert Strang教授与接触的其他老师不同的上课风格吸引，连着看了快一个月，一口气把这套课程看完了。另一方面，寒假和小伙伴做了一个跟深度学习有关的冯如杯的项目，想入门一下深度学习相关的知识。
一路学习下来，我惊喜地发现这个网课的内容之精彩超乎我的想象，Gilbert Strang在课程中十分注重学生对线性代数中抽象概念的感受，他极少使用教科书上那令人畏惧的定义和繁复漫长的公式，而往往三言两语就描述了概念的大致轮廓，让人直呼过瘾。（他还会结合时事，整整活，指路第11课42分钟处 🐶）
在他的课程中的另一个亮点是，他对线性代数在其他领域中的应用常常信手拈来，他熟悉matlab求解线性方程组的底层原理，经常对某个算法的时间复杂度做出评论和指出在巨大计算量中实际的做法，你可以在他的课程中找到线性代数中是如何处理图和网络，如何求解线性微分方程组，如何判断马尔科夫链的稳定性，如何进行快速傅里叶变换，如何进行投影以及图像压缩。很难想象，这些知识竟出现在同一堂线性代数课上。
关于推荐的另一本教材《代数学引论》，这一本书成书于上世纪的50年代前，相比于前面提到的网课，它所举的例子往往更加”经典“一些，而且由于是前苏联的教材，它也同样的具有前苏联教材的风格，我个人看过一两本俄罗斯数学教材选译系列的书，对此的感受是作者在进行叙述或定理的证明时，常常会省略一些细节，个人认为这并非是作者的“偷懒”或者编写教材的不认真导致的，可能是他们认为，读者在学习这本教材前或者在这个过程中，已经掌握了相关的知识与能力，所以无需多言。作者的视角十分宏大，以至于我最开始常常不知所云，搞不清书上的知识与线性代数有何联系。但是到了一个阶段之后就豁然开朗，仿佛进入桃花源的渔人般目不暇接，叹为观止。
一个求解n元线性方程组的一般方法是高斯消元法（最早出现于九章算术），也就是常见的将某一行乘上一个系数，然后用另一行减去它，这个系数一般会被设置得刚刚好使得某个变量可以被消去，重复相同的步骤，我们最后可以得到由主元和自由变量构成的新的方程组，它被称为行最简式，这个方程组于原先的方程组有着以下的关系：
上述的第一个关系保证了我们通过消元法来求解方程组的过程是有效的，而第二个关系则直接引出了一个结论，用矩阵语言来表示就是U=LA，或者换一种写法A=LU（前后两个L不同），其中A是原方程组的系数矩阵，U是行最简式的系数矩阵，在方阵的情况下，U为上三角矩阵，而L则是一系列初等矩阵的乘积。第一种写法着重强调矩阵消元的过程，而第二种写法则展示了矩阵的一种分解方法。这也就是矩阵的LU分解。